Mathematik · Lagebeziehungen
Vogelschutzgebiet
Wähle eine Aufgabe aus und decke die Hinweise nacheinander auf. Überlege nach jedem Hinweis zuerst selbst, bevor du den nächsten anschaust.
Ebenengleichung aufstellen
Stelle eine Ebenengleichung für das Vogelschutzgebiet auf. Beschränke die Fläche der Ebene, indem du das Intervall der Parameter \(r\) und \(s\) angibst.
Was benötigst du, um eine Ebenengleichung aufzustellen?
Aus der Skizze kannst du die Eckpunkte des Rechtecks ablesen. Nutze sie, um eine Ebenengleichung aufzustellen.
Wähle einen der Eckpunkte als Stützvektor und berechne mit diesem und zwei weiteren Punkten die Spannvektoren \(u\) und \(v\).
Schaue dir die Strecke \(\overline{P_1P_2}\) an, um den Parameter \(r\) zu bestimmen. Sie liegt parallel zur \(x_1\)-Achse. Welche Werte darf \(r\) annehmen, damit alle Punkte zwischen \(P_1\) und \(P_2\) auf der Strecke liegen?
Betrachte dazu die \(x_1\)-Koordinate.
Gehe für den Parameter \(s\) analog vor. Hier kannst du zum Beispiel die Strecke \(\overline{P_1P_4}\) nutzen.
Geradengleichung des Flugzeugs
Ein Flugzeug startet im Punkt \(F_1(0|10|3)\) und fliegt annähernd geradlinig in Richtung des Punktes \(F_2(2|9|4)\). Gib die zugehörige Geradengleichung des Flugzeuges an.
Für eine Geradengleichung benötigst du einen Stütz- und einen Richtungsvektor.
Wähle einen der Punkte als Stützvektor. Nutze den zweiten, um den Richtungsvektor zu bilden.
Überfliegt das Flugzeug das Gebiet?
Prüfe mit einer Rechnung, ob das Flugzeug über das Vogelschutzgebiet fliegt.
Die Flughöhe ist nicht relevant. Welche Koordinate beschreibt die Höhe? Du darfst sie in deiner Rechnung vernachlässigen.
Setze die Geradengleichung und die Ebenengleichung gleich, um die Lagebeziehung zu prüfen.
Stelle ein LGS auf, um die Parameter zu bestimmen. Nutze dafür die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten der Vektoren.
Wenn du das LGS mit dem Taschenrechner lösen möchtest, forme es so um, dass auf einer Seite der Gleichungen nur die Parameter \(t,r,s\) stehen.
Finde in der Lösung eine Gleichung, die nur von den Parametern \(r\) und \(s\) abhängt. Nutze dann aus, dass beide Parameter nur bestimmte Werte annehmen dürfen, da die Ebene beschränkt ist.
Setze zum Beispiel für \(r\) die Grenzwerte \(0\) und \(1\) ein. Liegt \(s\) dann noch im Intervall, welches du in Aufgabe 1 bestimmt hast?
Ein zweiter Lösungsweg
Finde eine weitere Lösung für Aufgabe 3.
Wie kannst du das Problem aus Aufgabe 3 geometrisch lösen?
Nutze aus, dass du die \(x_3\)-Koordinate für Aufgabe 3 vernachlässigen darfst.
Du kannst die Aufgabe graphisch lösen. Fertige eine graphische Lösung an.